MATEMATICAS

RESEÑA HISTÓRICA

En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china.

Par Ordenados

un par ordenado es un conjunto de dos elementos A y B que tiene un orden, al elemento A se lo llama primera componente y al elemento B segunda componente. se lo representa simbólicamente .(a,b).

(a,b,c)

Producto Cartesiano

sea 2 conjuntos (A y B) no vacíos denominaremos producto cartesiano entre A y B al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B , simbólicamente se lo representa .

AXB

Ejemplo:

Relaciones

una relación establece la correspondencia entre los elementos de un conjunto no vació

A y B . Generalmente al conjunto A se lo llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada simbólicamente se lo representa .

R ⊆ AXB

Dominio de una Relación

Dada una relación construida a partir de los conjuntos A y B los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación.se lo representa Dom R.

Rango de una Relación

Dada una relación construida a partir de los conjuntos A y B .Loa elementos del conjunto B que se relacionan con los elementos del dominio de R .constituye el rango de una relación .

FUNCIÓN

Una relación de A y B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento de rango.

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

DOMINIO DE LA FUNCIÓN

Sea F una función de variable real ,el conjunto x para el que se encuentra definido constituye el dominio de la función.

Consideraciones

-Cuando sea un cociente que el denominador , si hay X nunca se haga cero .

-cuando tenga una raíz de indice par debo tomar en cuenta de que no sea negativa.

RANGO DE LA FUNCIÓN

Sea F una función de variable real ,el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio constituye el rango de la función.se representa simbólicamente Rg f.

Pasos

-Despejar X

-El rango sera el conjunto de valores que tome la variable Y.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

A cada X le pertenece un solo Y .

si F es una función de A en B entonces la gráfica de F es el conjunto de pares ordenados de A en B tales que su coordenada son (x,y).

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

Si cualquier recta vertical intersecta la gráfica en un solo punto es función.

si hay dos puntos al interceptar la recta es relación

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA : También es de uno a uno F es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio ademas la N(A) ≤ N(B).
Ejemplo:

FUNCIÓN SOBREYECTIVA : F es sobreyectiva si Rg:B , ademas N(A)≥ N(B).
Ejemplo:

FUNCIÓN BIYECTIVA : F es una función biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función y=f(x) es creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta la variable dependiente, y.

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función y=f(x) es decreciente cuando al aumentar la variable independiente, x, disminuye la variable dependiente, y.

FUNCIÓN CONSTANTE

Una función y=f(x) es constante cuando al aumentar la variable independiente, x, la variable dependiente, y, no varía.

FUNCIÓN MONÓTONA

Se dice que F es una función monótona en un intervalo I , si y solo si F es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo.

FUNCIÓN PARES E IMPARES

PAR:Una función f es par si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = f(x).

IMPAR: Una función f es impar si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = -f(x).

FUNCIÓN PERIÓDICA

Es aquella función cuyos valores se repiten cada cierto tiempo .dicho tiempo se denomina periodo (T).

FUNCIÓN ACOTADA

Se dice que es una función acotada , donde M y N son valores reales que se denomina cota superior y cota inferior , respectivamente.

Cota Superior

Cota Inferior

FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo,

es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición.

Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x² + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.

FUNCIÓN LINEAL

Sea A y B Números reales , la función F de R en R cuya regla de correspondencia es f(x)=ax+b.

Ejemplo:

Cortes de X y Y

x=(-b/a,0)

y=(0,b)

a._ (a>0) $\and$ (b>0)

b._ (a>0) $\and$ (b<0)

c._ (a<0) $\and$ (b>0)

d._ (a<0) $\and$ (b<0)

APLICACIÓN DE FUNCIONES REALES

Ejemplos :

Los costos fijos de un fabricante son iguales a 10.000 mensuales y el costo de fabricar una camisa es de 15 dolares si se requiere representar matemáticamente la función de costos de fabrica.

f(x)=ax+b

f(x)=5x+10.000

(-2.000/5,0)

(0,10.000)

En la ciudad de Guayaquil existían 1420 médicos después de n años el numero de médicos que trabaja en la cuidad viene dado por.

a.cuantos médicos trabajaba en la ciudad al comienzo del año 2014

b.En que año hubo por primera vez mas de 2.000 médicos trabajando en la ciudad.

D(n)=1420+100n

=1420+100(20)

=1420+2000

=3420

D(n)=100(6)+1420

=600+1420

=2020

En el 2000 hubieron mas de 2000 médicos trabajando por primera vez

x=-b/a

x=1420/100

x=-71/5

y=1420

Funciones Cuadráticas

Sea a,b,c números reales con a ≠ 0, la función f de R en R cuya regla de correspondencia es:f(x)=ax²+bx+c

Forma Canónica de la función cuadrática

Vértice

1 ) Si a > 0 , entonces:
- La función decrece en el intervalo
- Crece en el intervalo:
2 ) Si a < 0 , entonces:
- La función crece en el intervalo
-Decrece en el intervalo:•

Para la Función Cuadrática Existen 6 Tipos de Gráficos

a. (a>0) $\and$ (∆>0)

b. (a>0) $\and$ (∆=0)

c. (a>0) $\and$ (∆<0)

d. (a<0) $\and$ (∆>0)

e .(a<0) $\and$ (∆=0)

f. (a<0) $\and$ (∆<0)

RESEÑA HISTÓRICA

Nace de la necesidad del hombre , estos nacieron en la India.

El mas antiguo es el sistema d numeración es el Hindú y se transmitió a Europa por los árabes , fibonacci fue testigo de la transmisión de este sistema y fue el que vio la necesidad de incorporar el (0).

LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO

Todo aquel conjunto de números racionales e irracionales.

Racionales: Participan los decimales y los quebrados

Irracionales: Números que tienen cantidad infinita de decimales que no de repitan

Axiomas de números reales

-Divisores y múltiples de un entero

Si A como y C pertenecen a los enteros cumple la relacion C=A*B entonces decimos que

A y B son factores o divisores de C en tal caso C es multiplo de A y B.

C= a.b

C: es el multiplo

a.b:es el que divide el multiplo

Ej:

20=5.4

30=6.5

Números primos
-Un numero entero es divisible por 2:
si termina en 0 o en cifra par
-un numero entero es divisible por 3:
si la suma de sus cifras es múltiplo 3
-un numero es divisible por 4:
si sus dos ultimas cifras son 0 0 o son múltiplo de 4
-un numero es divisible por 5:
si termina en 0 o en 5
-un numero es divisible por 6:
si lo es divisible por 2 y por 3 a la vez
-no hay regla para 7
-un numero es divisible para 8.
si sus 3 ultimas cifras es 0 0 0 o es multiplo de 8
-un numero es divisible para 9:
si la suma de sus cifras es multiplo de 9
-un numero es divisible para 10:
si termina en 0

Teoremas de numeros reales
Todo numero compuesto se puede descomponer de manera unica como el producto de numeros primos.

-Teorema fundamental del máximo común divisor
Que un conjunto de numeros enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los numeros del conjunto.

Ejemplo:

-Teorema fundamental del mínimo común múltiplo

El M.C.M de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es el múltiplo de cada numero dado.para poderlo sacar tenemos excojer los comunes con el mayor de los exponentes y los que no se repiten.

Ejemplo:

1.un fabricante tiene 3 productos en su inventario , los cuales se revisa periódicamente cada 2,6 y 10 semanas respectivamente.El fabricante necesita calcular cual sera el mínimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisión de los 3 productos coincidan.

2. Una cita en Sevilla

un viajante va a Sevilla cada 18 días , otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. hoy día 10 de junio a concebido los 3 días antes .dentro de cuantos días como mínimo volverá a concebir en Sevilla.

M.C.M=2³X3²X5=360

NÚMEROS PARES E IMPARES

PARES:Los números pares, son en matemáticas aquellos números enteros múltiplos del número 2. Por el hecho de ser enteros incluye tanto a números positivos como negativos. Todos aquellos que no sean múltiplos de dos les llamaremos números impares. Esta es una clasificación excluyente, es decir, los números serán o pares o impares, pero nunca podrán ser a la vez pares e impares. Además, obligatoriamente deben pertenecer a uno de los dos conjuntos.

Las operaciones entre pares, siempre dan como resultado un numero par. Veamos algunos ejemplos para demostrar esta afirmación:

Suma: 2+4=6, 4+8 = 12.
Resta: 6-4=2, 10-2=8.
Multiplicación: 4×4 = 16, 10 x 2 = 20.
División: 8/4 = 2, 16/2 = 8.

IMPARES:Los números impares, son en matemáticas aquellos números enteros que no son múltiplos del número 2 a diferencia de los pares que son múltiplos de dos.

Algunas de las operaciones entre números impares, dan como resultado un numero par otras resultan en un impar. Con algunos ejemplos apreciaremos este hecho

Multiplicación: 3×3 = 9 (I)
División: 9/3=3 (I)

JERARQUÍA DE OPERACIONES

EJEMPLO:

REPRESENTACIÓN DECIMAL

Existen diferentes tipos de decimales como son:

Decimal finito

periódica infinito

periódica mixto

infinito no periódica

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón

Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe:

6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (¸). Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe

u 8¸4 y se lee ocho es a cuatro.

Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8¸4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

EJEMPLOS

INTERVALOS

Se trata de una determinada distancia.

es el conjunto de todos los numero de a.b donde a.b son los extremos entonces se podría decir que el intervalo es la distancia.

Tipos de Intervalo

Intervalos abiertos: (a,b): Son todos los números entre a y b sin incluir sus extremos.

Intervalos cerrados: [a,b]: Son todos los números entre a y b incluyendo sus extremos.

Intervalos semiabiertos o semicerrados: [a,b) Son todos los números entre a y b incluyendo el extremo a.

Intervalos infinitos: (a,∞) : Son todos los números mayores que a.

Ejemplos:

a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:

b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:

c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha. Su gráfica es:

d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:

e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:

ECUACIONES

Una ecuación o igualdad condicional es aquella que es verdadera solo para algún o algunos valores de la variable del conjunto referencial que corresponda.

Propiedades de las ecuaciones

1:∀x,y є ℝ,(x=y)=(y=x)

2:∀x,y є ℝ,∧ c є ℝ,(x=y)=(x+c=y+c)

3:∀x,y є ℝ,∧ c є ℝ,(x=y)=(x.c=y.c)

4:∀x,y є ℝ-{0}, (x=y)=(xⁿ=yⁿ),n є ℤ

5:∀x,y є ℝ,(X.Y=0)=(X=0 ∨ Y=0)

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Ejemplos

Ecuaciones Cuadráticas
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que se puede representar con un predicado de la forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

x² + 5x - 10 (x+6)(x-1)

x+6=0 x-1=0

comprobación

x² + 5x - 10

(-6)²+5(-6)-6=0

36-30-6=0

36-36=0

0=0

x² + 5x - 10

(1)²+5(1)-6=0

1+5-6=0

6-6=0

0=0

Solución por la forma general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

pero existe El radicando b² – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces)depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Reglas del discriminante

Si el Δ es mayor que el cero existen dos soluciones.real y diferente

Si el Δ es igual a cero , hay una solución real duplicada

Si Δ es menor que cero, no existe solución real .

Ejemplo de la formula general.

VALOR ABSOLUTO

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Ejemplo:El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Propiedades

-Los números opuestos tienen igual valor absoluto

-El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absoluto de sus factores

-El valor absoluto de una suma es menor o igual a la suma de los valores absolutos o de los sumando.

INECUACIONES

Es una desigualdad algebraica .

Ejemplos:

MATEMATICAS

miércoles, 8 de julio de 2015

UNIDAD N° 4 RELACIONES-FUNCIONES

viernes, 12 de junio de 2015

UNIDAD Nº 3 NUMEROS REALES